Wahrscheinlichkeitsrechnung ist eine mathematische Methode zur Analyse von zufälligen Phänomenen. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung kann verwendet werden, um zu bestimmen, wie wahrscheinlich es ist, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung kann auch verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, das mehrere unabhängige Ereignisse umfasst.
Beispiel:
Angenommen, Sie werfen eine Münze. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze Kopf zeigt, ist 1/2. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze Zahl zeigt, ist 1/2. Da die beiden Ereignisse (Kopf und Zahl) voneinander abhängig sind, können wir die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten, berechnen.
Wenn wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen wollen, das mehrere unabhängige Ereignisse umfasst, müssen wir die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis multiplizieren.
Beispiel:
Angenommen, Sie werfen zwei Münzen. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Münzen Kopf zeigen, ist 1/4. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Münzen Zahl zeigen, ist 1/4. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze Kopf und die andere Münze Zahl zeigt, ist 1/2.
Aufgaben mit Lösungen Wahrscheinlichkeitsrechnung Klasse 8
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung geht es um Ereignisse, die mit Sicherheit nicht eintreten werden, sich aber mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit ereignen können. Je nach Ereignis kann die Wahrscheinlichkeit sehr gering oder sehr hoch sein.
Ein Ereignis kann zum Beispiel das Ziehen einer roten Karte aus einem gemischten Kartenspiel sein. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis eintritt, ist 1/52, weil es insgesamt 52 Karten im Spiel gibt und nur eine davon rot ist.
Aufgabe 1: Ereigniswahrscheinlichkeit
In einem Würfelspiel gibt es die Möglichkeit, mit drei Würfeln gleichzeitig zu werfen. Welche der folgenden Ereignisse ist wahrscheinlicher?
Ereignis A: Es wird eine 1, eine 2 und eine 3 geworfen.
Ereignis B: Es wird eine 4, eine 5 und eine 6 geworfen.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A ist 1/216 und die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B ist 1/216. Beide Ereignisse sind genau so wahrscheinlich.
Aufgabe 2: Ereignisbaum
Setze die Ereignisse in den Ereignisbaum ein. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E ist 1/4.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E ist 3/4.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E ist 1/2.
Die richtige Antwort ist C. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E ist 1/2, weil es zwei Möglichkeiten gibt, wie das Ereignis E eintreten kann:
Es wird zuerst das Ereignis A und dann das Ereignis C eintreten. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Ablauf ist 1/2 x 1/4 = 1/8.
Es wird zuerst das Ereignis B und dann das Ereignis D eintreten. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Ablauf ist 1/2 x 1/4 = 1/8.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E ist also 1/8 + 1/8 = 1/2.
Aufgabe 3: Multiplikationsregel
Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A und das Ereignis B ist gleich der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A mal der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A oder das Ereignis B ist gleich der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A mal der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A oder das Ereignis B ist gleich der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A plus die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B.
Die richtige Antwort ist A. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A und das Ereignis B ist gleich der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A mal der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B. Diese Regel wird Multiplikationsregel genannt.
Aufgabe 4: Additionsregel
Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A oder das Ereignis B ist gleich der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A mal der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A oder das Ereignis B ist gleich der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A mal der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A oder das Ereignis B ist gleich der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A plus die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B.
Die richtige Antwort ist C. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A oder das Ereignis B ist gleich der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A plus die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B. Diese Regel wird Additionsregel genannt.
Aufgabe 5: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Ein Würfel wird geworfen. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl geworfen wird, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine ungerade Zahl geworfen wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl geworfen wird, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als 4 geworfen wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl geworfen wird, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl größer als 4 geworfen wird.
Die richtige Antwort ist B. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl geworfen wird, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als 4 geworfen wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ungerade Zahl geworfen wird, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl größer als 4 geworfen wird.
Aufgabe 6: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Ein Würfel wird geworfen. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl geworfen wird, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine ungerade Zahl geworfen wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl geworfen wird, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als 4 geworfen wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl geworfen wird, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl größer als 4 geworfen wird.
Die richtige Antwort ist B. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl geworfen wird, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als 4 geworfen wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ungerade Zahl geworfen wird, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl größer als 4 geworfen wird.
Aufgabe 7: Bayessche Formel
Ein Test wird durchgeführt, um festzustellen, ob eine Person krank ist. Der Test ist nicht perfekt, sondern hat folgende Genauigkeit:
Wenn eine Person krank ist, gibt der Test in 95% der Fälle ein positives Ergebnis.
Wenn eine Person gesund ist, gibt der Test in 10% der Fälle ein positives Ergebnis.
Eine Person, bei der der Test ein positives Ergebnis ergab, wird noch einmal getestet. Dieser zweite Test ist perfekt. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Person krank ist, beträgt 100%.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Person krank ist, liegt zwischen 50% und 100%.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Person krank ist, beträgt 50%.
Die richtige Antwort ist B. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Person krank ist, liegt zwischen 50% und 100%. Die genaue Wahrscheinlichkeit kann mit der Bayesschen Formel berechnet werden:
P(A|B) = P(B|A) x P(A) / P(B)
In diesem Fall ist P(A) = 0,95 (die Wahrscheinlichkeit, dass eine kranke Person den Test besteht), P(B) = 0,95 x 0,1 = 0,095 (die Wahrscheinlichkeit, dass eine gesunde Person den Test besteht) und P(B|A) = 1 (die Wahrscheinlichkeit, dass eine kranke Person den zweiten Test besteht).
Mit diesen Werten ergibt sich:
P(A|B) = 1 x 0,95 / 0,095 = 10
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Person krank ist, beträgt also 10 / (10 + 1) = 10%.
