Vektoren sind kräftige Werkzeuge in der Mathematik. Mit ihnen können wir gerade Linien zeichnen und Berechnungen durchführen. In dieser Einheit werden wir lernen, was Vektoren sind und wie wir sie in der Mathematik verwenden können.
Was ist ein Vektor?
Ein Vektor ist eine mathematische Entität, die Richtung und Magnitude hat. Das bedeutet, dass ein Vektor eine gerade Linie hat, die in eine bestimmte Richtung verläuft. Die Magnitude eines Vektors gibt an, wie lang die Linie ist.
Denken Sie an einen Vektor als Pfeil. Der Pfeil startet an einem Punkt und zeigt in eine bestimmte Richtung. Die Länge des Pfeils gibt die Magnitude des Vektors an.
Wenn wir den Vektor als Pfeil betrachten, können wir sehen, dass er eine bestimmte Richtung hat. In der Abbildung sehen Sie, dass der Vektor nach links oben verläuft. Wir können auch sehen, dass der Vektor eine gewisse Länge hat. In der Abbildung ist die Länge des Vektors 3 Einheiten.
Wie verwende ich Vektoren?
Vektoren können in vielen Bereichen der Mathematik verwendet werden. Einige Beispiele sind:
Linien zeichnen
Geraden zeichnen
Ebenen zeichnen
Punkte berechnen
Dreiecke berechnen
Winkel berechnen
Wir werden diese Beispiele später in dieser Einheit sehen.
Schritt-für-Schritt-Anleitung zum Erstellen eines Vektors
Für diese Übung benötigen Sie ein Blatt Papier und einen Stift.
Stellen Sie sich vor, Sie möchten einen Vektor zeichnen, der nach links oben gerichtet ist und 3 Einheiten lang ist. Beginnen Sie, indem Sie einen Punkt auf Ihrem Blatt Papier zeichnen.
Als nächstes zeichnen Sie einen Pfeil, der vom Punkt weg und nach links oben verläuft.
Zeichnen Sie den Pfeil so lang, bis er 3 Einheiten lang ist.
Sie haben jetzt einen Vektor erstellt!
Vektoren in der Mathematik
Vektoren können in vielen Bereichen der Mathematik verwendet werden. In diesem Abschnitt werden wir einige der wichtigsten Anwendungen von Vektoren betrachten.
Geraden zeichnen
Geraden können mit Vektoren gezeichnet werden. Wenn wir eine Gerade zeichnen möchten, müssen wir zwei Punkte auf der Geraden finden. Diese Punkte können mit Vektoren angegeben werden.
Betrachten wir das folgende Beispiel:
Stellen Sie sich vor, wir wollen eine Gerade zeichnen, die durch die Punkte (-2, 1) und (4, 3) verläuft. Diese Punkte können mit Vektoren angegeben werden.
Der erste Punkt, (-2, 1), kann als Vektor (-2, 1) angegeben werden. Der zweite Punkt, (4, 3), kann als Vektor (4, 3) angegeben werden.
Wir können diese beiden Vektoren verwenden, um die Gerade zu zeichnen, die durch die Punkte verläuft.
Wie Sie sehen können, können wir die beiden Vektoren verwenden, um die Gerade zu zeichnen, die durch die Punkte verläuft. Wenn wir dies tun, erhalten wir die folgende Gerade:
In diesem Beispiel haben wir gezeigt, wie man eine Gerade mit zwei Punkten zeichnet. Diese Punkte können mit Vektoren angegeben werden. Es gibt jedoch auch andere Möglichkeiten, eine Gerade zu zeichnen. Zum Beispiel können wir eine Gerade mit einem Punkt und einem Vektor zeichnen. Wir werden dies später in dieser Einheit sehen.
Geraden berechnen
Vektoren können auch verwendet werden, um Geraden zu berechnen. Zum Beispiel können wir mit Vektoren die Steigung einer Geraden berechnen.
Steigung ist ein Maß dafür, wie stark eine Gerade nach oben oder unten geneigt ist. Die Steigung einer Geraden kann mit dem folgenden Formel berechnet werden:
In dieser Formel ist m die Steigung der Geraden und x1 und y1 sind die Koordinaten des ersten Punktes auf der Geraden. x2 und y2 sind die Koordinaten des zweiten Punktes auf der Geraden.
Wenn wir die Steigung einer Geraden berechnen möchten, müssen wir zwei Punkte auf der Geraden finden. Diese Punkte können mit Vektoren angegeben werden.
Betrachten wir das folgende Beispiel:
Stellen Sie sich vor, wir möchten die Steigung der Geraden berechnen, die durch die Punkte (-2, 1) und (4, 3) verläuft. Diese Punkte können mit Vektoren angegeben werden. Der erste Punkt, (-2, 1), kann als Vektor (-2, 1) angegeben werden. Der zweite Punkt, (4, 3), kann als Vektor (4, 3) angegeben werden.
Wir können diese beiden Vektoren verwenden, um die Steigung der Geraden zu berechnen, die durch die Punkte verläuft.
Um die Steigung der Geraden zu berechnen, setzen wir die Koordinaten der Punkte in die Formel ein:
Als nächstes berechnen wir den Ausdruck auf der rechten Seite der Gleichung:
Wir berechnen den Ausdruck weiter:
Der Ausdruck auf der rechten Seite der Gleichung ist jetzt 3/2. Dies bedeutet, dass die Steigung der Geraden 3/2 ist.
Wir können diese Steigung verwenden, um die Gerade zu zeichnen, die durch die Punkte verläuft. Die Gerade wird in der folgenden Abbildung gezeigt:
In diesem Beispiel haben wir gezeigt, wie man die Steigung einer Geraden berechnet. Wir haben auch gezeigt, wie man die Gerade mit der berechneten Steigung zeichnet. Es gibt jedoch auch andere Möglichkeiten, eine Gerade zu zeichnen. Zum Beispiel können wir eine Gerade mit einem Punkt und einem Vektor zeichnen. Wir werden dies später in dieser Einheit sehen.
Dreiecke berechnen
Vektoren können auch verwendet werden, um Dreiecke zu berechnen. Zum Beispiel können wir mit Vektoren die Seitenlängen eines Dreiecks berechnen.
Betrachten wir das folgende Beispiel:
Stellen Sie sich vor, wir möchten die Seitenlängen des Dreiecks berechnen, das durch die Punkte A (1, 2), B (4, 5) und C (7, 8) verläuft. Diese Punkte können mit Vektoren angegeben werden. Der Punkt A kann als Vektor A (1, 2) angegeben werden. Der Punkt B kann als Vektor B (4, 5) angegeben werden. Der Punkt C kann als Vektor C (7, 8) angegeben werden.
Wir können diese Vektoren verwenden, um die Seitenlängen des Dreiecks zu berechnen.
Um die Länge der Seite AB zu berechnen, berechnen wir den Abstand zwischen den Punkten A und B. Dieser Abstand kann mit dem folgenden Formel berechnet werden:
In dieser Formel ist d der Abstand zwischen den Punkten A und B und x1, y1, x2 und y2 sind die Koordinaten der Punkte A und B.
Wenn wir den Abstand zwischen den Punkten A und B berechnen möchten, setzen wir die Koordinaten der Punkte in die Formel ein:
Als nächstes berechnen wir die Quadratwurzel aus dem Ausdruck auf der rechten Seite der Gleichung:
Der Abstand zwischen den Punkten A und B ist 5.
Wir können auch den Abstand zwischen den Punkten B und C berechnen. Dieser Abstand ist 5,5.
Wir können auch den Abstand zwischen den Punkten A und C berechnen. Dieser Abstand ist 10.
Wir haben jetzt die Längen der Seiten des Dreiecks berechnet. Diese Seitenlängen sind 5, 5,5 und 10. Wir können diese Längen verwenden, um das Dreieck zu zeichnen.
