Gebrochene rationale Funktionen sind eine Art mathematischer Funktionen, die eine Funktion aus zwei Teilen bestehen, die durch eine Bruchlinie getrennt sind. Die Teile einer gebrochenen rationalen Funktion können entweder Polynome (Polynomfunktionen) oder eine Kombination aus Polynomen und irrationalen Funktionen (irrationalen Funktionen) sein. Dieser Artikel erklärt die Definition, die allgemeine Form und die Eigenschaften von gebrochenen rationalen Funktionen und konzentriert sich auf den Unterricht in Klasse 11.
Definition
Eine gebrochene rationale Funktion ist eine Funktion, die durch zwei mathematische Funktionen definiert wird, die an einer Bruchlinie getrennt sind. Jede der Funktionen wird als ein Teil der gebrochenen rationalen Funktion bezeichnet. Der obere Teil der Funktion wird als der untere Teil und der untere Teil wird als der obere Teil bezeichnet.
Allgemeine Form
Eine gebrochene rationale Funktion kann allgemein als f(x) = (ax + b) / (cx + d) dargestellt werden, wobei a, b, c und d Koeffizienten sind, wobei a und c nicht gleichzeitig null sind.
Eigenschaften
Gebrochene rationale Funktionen haben bestimmte Eigenschaften, die beim Unterricht in Klasse 11 zu beachten sind. Zum Beispiel hat eine gebrochene rationale Funktion eine horizontale Asymptote, wenn a die Koeffizienten betrachtet werden und eine gebrochene rationale Funktion hat eine obere Asymptote, wenn c die Koeffizienten betrachtet werden. Ein weiteres Merkmal der gebrochenen rationalen Funktion ist, dass es eine Bruchlinie gibt, die die Funktion an einer Stelle in zwei Teile trennt. Die Bruchlinie entspricht der Stelle, an der c die Koeffizienten betrachtet werden. Die Position dieser Bruchlinie kann variieren, wenn die Koeffizienten a, b, c und d geändert werden.
Übungen mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Übung 1: Bestimmen Sie die horizontale Asymptote der Funktion f(x) = (2x + 3) / (x + 4) Lösung: Die horizontale Asymptote der Funktion ist y = 2, da a = 2 ist.
Übung 2: Bestimmen Sie die obere Asymptote der Funktion f(x) = (2x + 3) / (x + 4) Lösung: Die obere Asymptote der Funktion ist y = 4, da c = 1 ist.
Übung 3: Bestimmen Sie die Bruchlinie der Funktion f(x) = (2x + 3) / (x + 4) Lösung: Die Bruchlinie der Funktion ist x = – 4, da c = 1 ist.
Aufgaben mit Lösungen Gebrochen Rationale Funktionen Klasse 11
Willkommen zu unserem Artikel über gebrochene rationale Funktionen der Klasse 11! In diesem Artikel erklären wir die Grundlagen dieses Themas und stellen mehrere Übungen zur Verfügung, die Sie lösen können. Jede Übung wird mit einer Schritt-für-Schritt-Lösung begleitet, sodass Sie sich leicht auf Ihren Weg machen können!
Grundlagen
Gebrochene rationale Funktionen (GRF) sind eine spezielle Art von algebraischen Funktionen, die durch einen Bruch aus Polynomen bestehen. Sie werden in der Regel als allgemeine Form geschrieben:
f(x) = (ax + b) / (cx + d)
Hier ist x die unabhängige Variable und a, b, c und d sind Konstanten. Wenn Sie die GRF in die standardmäßige Form der Funktion einsetzen, die als y = mx + b bekannt ist, können Sie die Steigung und y-Achsenabschnitt der Funktion bestimmen. Dies ist nützlich, um lineare Funktionen zu lösen. Ein weiterer wichtiger Punkt ist, dass GRFs unendlich viele Schnittpunkte mit der x-Achse haben können. Dies bedeutet, dass die Funktion je nach Konstanten unterschiedliche Zahlen haben kann.
Übung 1:
Finden Sie die GRF, deren Schnittpunkt mit der x-Achse x = -2 ist und dessen Steigung 3 ist.
Lösung:
Die allgemeine Form der GRF ist f(x) = (ax + b) / (cx + d). Wir wissen, dass der Schnittpunkt x = -2 ist und die Steigung 3 ist. Wir können diese Informationen in die allgemeine Form einsetzen, um die Konstanten zu bestimmen.
Wenn x = -2 ist, dann ist f(-2) = 0. Also müssen wir 0 = (a(-2) + b) / (c(-2) + d). Wir wissen, dass c ≠ 0, also können wir diese Gleichung aufstellen, um a und b zu bestimmen: a(-2) + b = 0 => a = 2, b = 0.
Wenn die Steigung 3 ist, dann ist f'(x) = 3. Wir können diese Gleichung auch in die allgemeine Form einsetzen, um die Konstanten c und d zu bestimmen: 3 = (ac + b) / (c² + 2cd + d²). Wir wissen, dass a = 2 und b = 0, also können wir die Gleichung wie folgt aufstellen: 3 = (2c) / (c² + 2cd + d²) => c = 3/2 und d = -3/2.
Daher ist die gesuchte GRF f(x) = (2x + 0) / (3/2x – 3/2) = (2x) / (3/2x – 3/2).
Übung 2:
Finden Sie die GRF, deren Schnittpunkt mit der x-Achse x = -2 ist und dessen Steigung 0 ist.
Lösung:
Die allgemeine Form der GRF ist f(x) = (ax + b) / (cx + d). Wir wissen, dass der Schnittpunkt x = -2 ist und die Steigung 0 ist. Wir können diese Informationen in die allgemeine Form einsetzen, um die Konstanten zu bestimmen.
Wenn x = -2 ist, dann ist f(-2) = 0. Also müssen wir 0 = (a(-2) + b) / (c(-2) + d). Wir wissen, dass c ≠ 0, also können wir diese Gleichung aufstellen, um a und b zu bestimmen: a(-2) + b = 0 => a = 2, b = 0.
Wenn die Steigung 0 ist, dann ist f'(x) = 0. Wir können diese Gleichung auch in die allgemeine Form einsetzen, um die Konstanten c und d zu bestimmen: 0 = (ac + b) / (c² + 2cd + d²). Wir wissen, dass a = 2 und b = 0, also können wir die Gleichung wie folgt aufstellen: 0 = (2c) / (c² + 2cd + d²) => c = 0 und d = -2.
Daher ist die gesuchte GRF f(x) = (2x + 0) / (0x – 2) = (2x) / (-2).
