Ganzrationale Funktionen sind eine Gruppe von Funktionen, die als Polynomfunktionen schrittweise vereinfacht werden können. Sie sind ein wichtiges Thema in der Algebra Klasse 11 und können in vielen Anwendungen verwendet werden.
Eine ganzrationale Funktion besteht aus einer Kombination von Potenzen, Polynomen und Ratifunktionen. Diese Funktionen sind in der Lage, eine Vielzahl von mathematischen Aufgaben zu lösen.
In dieser Erklärung werden wir uns die Grundlagen der ganzrationalen Funktionen ansehen und einige Beispiele sehen, wie sie in der Praxis angewendet werden können. Wir werden auch einige Übungen mit Schritt-für-Schritt-Lösungen sehen, die Ihnen helfen, das Thema zu verstehen.
Was sind ganzrationale Funktionen?
Ganzrationale Funktionen sind eine Kombination von mehreren Funktionstypen, die als eine einzelne Polynomfunktion vereinfacht werden können. Eine ganzrationale Funktion besteht aus einer Kombination aus Potenzen, Polynomen und Ratifunktionen. Diese Funktionen können dazu verwendet werden, um eine Reihe von mathematischen Aufgaben zu lösen.
Beispiele für ganzrationale Funktionen
Beispiel 1: F(x)= x^3 + 5x^2 – 7x + 12
Beispiel 2: G(x)= 4x^3 + 2x^2 – x + 8
Beispiel 3: H(x)= 5x^2 + 3x – 5
Verwendung von ganzrationalen Funktionen
Ganzrationale Funktionen können in einer Vielzahl von Anwendungen verwendet werden. Sie können verwendet werden, um Systeme von Gleichungen zu lösen, lineare und nichtlineare Funktionen zu bestimmen und komplexe mathematische Problemstellungen zu visualisieren. Sie können auch verwendet werden, um die Kostenfunktion zu bestimmen und verschiedene Prozesse zu optimieren.
Übungen mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Um ganzrationale Funktionen zu verstehen, ist es am besten, einige Übungen mit Schritt-für-Schritt-Lösungen auszuführen. In den folgenden Übungen werden wir uns einige Beispiele ansehen und versuchen, das Konzept hinter ganzrationalen Funktionen zu verstehen. Wir werden auch verschiedene Methoden sehen, wie wir die ganzrationalen Funktionen lösen können.
Übung 1
Finden Sie die Nullstellen der folgenden Funktion: F(x)= x^3 + 5x^2 – 7x + 12.
Lösung: Die Nullstellen der Funktion F(x) sind x = 0, x = 1 und x = -6.
Übung 2
Finden Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: G(x)= 4x^3 + 2x^2 – x + 8.
Lösung: Der Extremwert der Funktion G(x) ist G(0) = 8. Der Funktion G(x) liegt ein Minimum bei (0, 8).
Übung 3
Finden Sie die Lösung der folgenden Gleichung: H(x)= 5x^2 + 3x – 5 = 0.
Lösung: Die Lösung der Gleichung H(x) = 0 ist x = -1 und x = 5.
Aufgaben mit Lösungen Ganzrationale Funktionen Klasse 11
Ganzrationale Funktionen sind Funktionen, deren Graph die Kombination von linearen, quadratischen, kubischen und höheren Funktionen ist. Sie werden häufig in der höheren Mathematik verwendet, da sie eine einfache Möglichkeit bieten, komplexe Probleme zu lösen. In diesem Artikel werden wir uns einige Aufgaben mit Lösungen ansehen, die im Rahmen von ganzrationalen Funktionen in Klasse 11 bearbeitet werden.
Übung 1: Polynomdivision
In dieser Aufgabe müssen wir zwei Polynome dividieren. Zuerst schreiben wir die beiden Polynome auf:
x2 + 7x + 10 und 3x + 5
Um die Polynomdivision durchzuführen, müssen wir den ersten Term des Dividenden (also x2 + 7x + 10) mit dem ersten Term des Divisors (3x + 5) multiplizieren. Die Antwort ist dann 3x2 + 15x + 50.
Nun subtrahieren wir die Antwort vom Dividenden:
x2 + 7x + 10 – (3x2 + 15x + 50) = -2x2 – 8x – 40
Nun bringen wir den nächsten Term des Divisors auf die andere Seite und fügen es zum Dividenden hinzu. Wieder multiplizieren wir den ersten Term des Dividenden mit dem ersten Term des Divisors:
-2x2 – 8x – 40 + (3x + 5) = -2x2 – 5x – 35
Jetzt subtrahieren wir die Antwort vom Dividenden:
-2x2 – 5x – 35 – (3x + 5) = -2x2 – 8x – 40
Das Ergebnis unserer Polynomdivision ist das Quotientenpolynom: -2x – 5
Übung 2: Wurzelzerlegung
In dieser Übung werden wir ein Polynom auf Wurzeln zerlegen. Zuerst schreiben wir das Polynom auf:
x4 – 16x2 + 64
Um das Polynom zu zerlegen, muss man die ganzen Zahlen herausziehen und die Differenz zweier Quadrate berechnen. In diesem Fall ist die ganze Zahl 16 und die Differenz zweier Quadrate ist 16x2. Das Ergebnis der Zerlegung ist:
(x2 – 4)(x2 + 4)
Übung 3: Gleichungen lösen durch Substitution
In dieser Aufgabe müssen wir eine Gleichung lösen, indem wir ein neues Substantiv einführen. Zuerst schreiben wir die Gleichung auf:
2x2 + 10x – 8 = 0
Um die Gleichung zu lösen, teilen wir sie durch 2:
x2 + 5x – 4 = 0
Nun führen wir ein neues Substantiv ein und setzen es gleich dem Produkt zweier Faktoren:
y = x2 + 5x
Nun können wir die Gleichung als Folgendes schreiben:
y – 4 = 0
Nun können wir die Gleichung leicht lösen, indem wir y auf beiden Seiten der Gleichung gleichsetzen:
x2 + 5x = 4
Um x aus der Gleichung herauszubekommen, müssen wir die Quadratwurzel aus beiden Seiten nehmen:
x = ±√4 – 5
Die Lösung der Gleichung ist somit: x = ±2
Fazit
Ganzrationale Funktionen sind ein sehr nützliches Werkzeug, um komplexe Probleme in der Mathematik zu lösen. In diesem Artikel haben wir uns zwei verschiedene Aufgaben mit Lösungen angeschaut, die mit ganzrationalen Funktionen in Klasse 11 behandelt werden. Wir hoffen, dass Sie ein besseres Verständnis dafür bekommen haben, wie man ganzrationale Funktionen anwendet.
